Informatik · Klasse 5–8
Dualsystem: Zahlen verstehen und umrechnen
Computer rechnen nur mit 0 und 1. Du lernst die Stellenwerte kennen und rechnest zwischen Dual- und Dezimalzahlen um.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Dein Handy speichert jedes Foto, jede Nachricht und jeden Highscore als lange Kette aus 0 und 1. Das klingt nach wenig, reicht aber für jede Zahl. Der Trick steckt in den Stellenwerten, und die lernst du hier.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Im Dezimalsystem hat jede Stelle den zehnfachen Wert der Stelle rechts daneben: Einer, Zehner, Hunderter. Im Dualsystem ist es genauso, nur mit der Basis 2. Jede Stelle ist also doppelt so viel wert wie ihre rechte Nachbarin. Dualsystem, Binärsystem und Zweiersystem meinen dasselbe.
Definition
Dualzahl
Eine Dualzahl ist eine Zahl im Stellenwertsystem zur Basis 2. Sie besteht nur aus den Ziffern 0 und 1. Die kleine 2 hinten zeigt die Basis an, zum Beispiel 101₂.
| Stelle von rechts | Potenz | Stellenwert |
|---|---|---|
| 0 | 2⁰ | 1 |
| 1 | 2¹ | 2 |
| 2 | 2² | 4 |
| 3 | 2³ | 8 |
| 4 | 2⁴ | 16 |
| 5 | 2⁵ | 32 |
| 6 | 2⁶ | 64 |
| 7 | 2⁷ | 128 |
Merke: Von rechts nach links lauten die Stellenwerte 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 – jeder ist das Doppelte des vorherigen.
Teste dich
Schreib über jede Ziffer ihren Stellenwert. Dann addierst du nur die Stellenwerte, unter denen eine 1 steht. Die Nullen zählen nicht mit, halten aber die Stellen frei.
Beispiel: 10110₂ umrechnen
- 1Stellenwerte: 16 · 8 · 4 · 2 · 1
- 2Ziffern: 1 · 0 · 1 · 1 · 0
- 3Einsen stehen bei 16, 4 und 2.
- 416 + 4 + 2 = 22, also 10110₂ = 22
Merke: Nullen sind wichtig: 10110₂ ist 22, aber 111₂ ist nur 7. Lässt du eine Null in der Mitte weg, verrutschen alle Stellen.
Teste dich
Du teilst die Zahl immer wieder durch 2 und schreibst jeweils den Rest auf. Das machst du, bis als Ergebnis 0 herauskommt. Dann liest du die Reste von unten nach oben. Der erste Rest ist die letzte Ziffer der Dualzahl.
Beispiel: 37 ins Dualsystem umrechnen
- 137 : 2 = 18 Rest 1
- 218 : 2 = 9 Rest 0 · 9 : 2 = 4 Rest 1
- 34 : 2 = 2 Rest 0 · 2 : 2 = 1 Rest 0 · 1 : 2 = 0 Rest 1
- 4Reste von unten nach oben: 100101₂
- 5Probe: 32 + 4 + 1 = 37
Merke: Reste immer von unten nach oben lesen. Und mach die Probe: Rechne dein Ergebnis zurück ins Dezimalsystem.
Teste dich
Ein Bit ist eine Stelle mit genau zwei Zuständen: 0 oder 1. Jedes weitere Bit verdoppelt die Zahl der möglichen Muster. Acht Bits heißen ein Byte.
| Bits | Muster | Zahlenbereich |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 0 bis 1 |
| 2 | 4 | 0 bis 3 |
| 3 | 8 | 0 bis 7 |
| 4 | 16 | 0 bis 15 |
| 8 | 256 | 0 bis 255 |
Merke: Mit n Bits gibt es 2ⁿ Muster. Weil die 0 mitzählt, reicht der Bereich von 0 bis 2ⁿ − 1.
Beispiel: Schnell-Check am letzten Bit
- 1Endet eine Dualzahl auf 0, ist die Zahl gerade.
- 2Endet sie auf 1, ist sie ungerade.
- 3Grund: Alle Stellenwerte außer der 1 sind gerade.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Dualsystem
Ziffern
nur 0 und 1
Stellenwerte
1, 2, 4, 8, 16 … von rechts
Dual → Dezimal
Stellenwerte der Einsen addieren
Dezimal → Dual
durch 2 teilen, Reste rückwärts
n Bits
2ⁿ Muster, 0 bis 2ⁿ − 1
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
45 ins Dualsystem und zurück
- 145 : 2 = 22 R 1 · 22 : 2 = 11 R 0 · 11 : 2 = 5 R 1
- 25 : 2 = 2 R 1 · 2 : 2 = 1 R 0 · 1 : 2 = 0 R 1
- 3Reste von unten nach oben: 101101₂
- 4Probe: 32 + 8 + 4 + 1 = 45
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Die Stellenwerte verdoppeln sich von . Beim Umrechnen ins Dualsystem teilst du immer wieder durch . Die Reste liest du danach von .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback